线性代数 - 矩阵乘法的几何意义
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矩阵乘法本质上是对某个空间的线性变化。所谓线性变化是指变化完之后
- 原点不变，比如二维的情况，变化后原点(0,0)的坐标还是(0,0)
- 平行关系不变，即本来平行的两条边，变换后仍然平行
这种变换有两个角度来理解
（一）对向量的线性变化，即在同一个坐标系下，通过矩阵将某个向量变换成另一个向量
比如二维情况下把X轴放大一倍的矩阵
对任意列向量或行向量 均会被在 轴方向上被放大一倍
行向量
列向量
（二）向量的坐标不变，换到一个新的坐标轴后得到的向量在原坐标轴下的坐标
比如二维情况下某矩阵对列向量的变换
从上面的公式可以看出来，向量经过矩阵变换后得到的向量可以理解为个列向量 和 个列向量 的和。
也就是把基向量换成原坐标系下 和 这两个向量后，这个坐标对应的向量在原坐标系下的坐标
从行向量的角度也类似，相当于把基向量换成原坐标系下 和 这两个向量后，这个坐标对应的向量在原坐标系下的坐标
推广
换基操作
给定某个列向量,假如将基向量换成和 ，那么原来的列向量的坐标会变成什么呢
接着上面的第二个角度，本质上是有两个坐标系在的
一个是我们所在的“标准”坐标系，给定某个矩阵运算
可以理解为：有一个外星人在另一个坐标系，他的那个坐标系的两个基向量从我们的视角看分别是和。那么上面的乘法就相当于把外星人说的翻译成我们的语言。
也就是说外星人说的其实从我们的角度看是。那么反过来，我们说的怎么翻译到外星人的坐标系呢。假如用来做这个翻译的矩阵是。那么我们说的翻译完以后就是
那么怎么计算翻译矩阵呢。其实很简单，假设我们翻译完之后成了外星人的语言，如果再反向翻译一遍，那么此时他应该会变为原来的即
所以
也就是原来矩阵的逆矩阵